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Differentialgleichungen
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Differentialgleichungen sind Gleichungen, in denen Funktionen einer oder mehrerer Veränderlichen mit ihren Ableitungen verknüpft werden. Lösungen von Differentialgleichungen sind in der Regel Funktionenscharen. Derartige Gleichungen spielen eine große Rolle in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften, insbesondere bei der Modellierung komplexer Systeme.
Unser Lehrbuch "Differentialgleichungen für Einsteiger" ist im Springer-Verlag erschienen, um diese Thematik mithilfe konsequenter Anwendungsorientierung einem breiteren Interessentenkreis zugänglich zu machen. Schwerpunktthemen: Gewöhnliche Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, Differentialgleichungssysteme, numerische Methoden, partielle Differentialgleichungen.
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ISBN 978-3-662-59830-6
Der zugehörige YouTube-Kanal ist über folgenden Link erreichbar:
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https://www.youtube.com/channel/UC0XymzfbQYSYJBAFOINpjAA
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Für die analytische oder numerische Lösung von Differentialgleichungen eignen sich Computeralgebrasysteme wie Mathematica hervorragend.
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Ein Beispiel aus dem Bereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen:
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Die Eingabe:
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DSolve[y'[x] == y[x], y[x], x]
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liefert die Lösung:
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{{y[x] -> E^x C[1]}}.
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Die Veranschaulichung von Lösungen gewöhnlicher
Differentialgleichungen kann mittels so genannter
Richtungsfelder erfolgen. Im Beispiel:
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Show[StreamPlot[{1, y}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}],
Das Ergebnis befindet sich oben im Bild.
Beispiel für die Lösung einer partiellen Differentialgleichung:
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Die Eingabe
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sol3 = DSolve[{D[y[x, t], t] + 2 D[y[x, t], x] == Sin[x],
y[0, t] == Cos[t]}, y[x, t], {x, t}];
g[x_, t_] = y[x, t] /. sol3
Plot3D[g[x, t], {x, -4, 4}, {t, -4, 4}]
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liefert als Output die Lösung:
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{1/2 (1 + 2 Cos[1/2 (2 t - x)] - Cos[x])}
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Der Plot befindet sich rechts im Bild.
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